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Le club est fondé en 2015 par Valeriy Peresolyak, alors chef des douanes de la ville de Tchop. Durant ses premières années, l'équipe évolue d'abord dans les compétitions régionales de l'oblast de Transcarpatie avant d'intégrer dès 2017 le championnat national amateur, quatrième division nationale. Après une saison à ce niveau, qui voit Mynaï terminer premier de son groupe, le club parvient à obtenir le statut professionnel et accède dans la foulée à la troisième division.

Pour sa première saison au niveau professionnel, le FK Mynaï parvient une fois de plus à dominer son groupe pour décrocher une deuxième promotion d'affilée au deuxième échelon. Il échoue cependant à remporter le titre de champion, étant vaincu en finale par le Kremin Krementchouk, vainqueur de l'autre groupe du championnat.

Continuant sur sa lancée des saisons précédentes, le club passe le plus clair de l'exercice 2019-2020 dans les premières positions et termine finalement vainqueur du championnat de deuxième division, obtenant une troisième promotion d'affilée pour rallier la première division, deux ans après ses débuts professionnels. Cette même saison voit par ailleurs l'équipe atteindre les demi-finales de la Coupe d'Ukraine, où il est finalement éliminé par le Dynamo Kiev.

À l'issue de la saison 2020-2021, Mynaï termine dernier du championnat et assure sa relégation lors de l'avant-dernier tour. Dans la foulée de cette descente, des rumeurs quant à la dissolution du club en fin d'exercice font leur apparition. Finalement, il profite du retrait de l'Olimpik Donetsk pour être repêché dans l'élite pour l'exercice 2021-2022.